BAB 3 : INTEGRASI TAK WAJAR DAN INTEGRASI

A) Rangkuman Materi

1 Hampiran Jumlah Riemann

a. Hampiran Titik Ujung Kiri \(\int_a^b f(x) dx \approx (\frac{b-a}{n})[y_0 + y_1 + ... + y_{n-1}]\)

b. Hampiran Titik Ujung Kanan \(\int_a^b f(x) dx \approx (\frac{b-a}{n})[y_0 + y_1 + ... + y_{n}]\)

c. Hampiran Titik Tengah \(\int_a^b f(x) dx \approx (\frac{b-a}{n})[y*_1 + y*_2 + ... + y*_{n}]\) dengan \(y*_i = f(\frac{x_{i-1} + x_i}{2})\)

2 Hampiran Trapezoidal

\(\int_a^b f(x) dx \approx \frac{(b-a)}{2n}[y_0 + 2y_1 + 2y_2 + ... + 2y_{n-1} + y_n]\)

\(\int_a^b f(x) dx \approx \frac{(b-a)}{2}[f(a) + f(b)]\)

3 Perbandingan Titik Tengah dan Trapezoidal

1. Galat Hasil Hampiran Titik Tengah \(E_M = \int_a^b f(x) dx - M_n,\) dengan \(M_n\) adalah hasil hampiran titik tengah

2. Galat Hasil Hampiran Trapezoidal br \(E_T = \int_a^b f(x) dx - T_n,\) dengan \(T_n\) adalah hasil hampiran trapezoidal.

4 Aturan Simpson

\(\int_a^b f(x) dx \approx \frac{(b-a)}{3n}[y_0 + 4y*_1 + 2y_2 + 4y*_3 + ... + 2y_{n-2} + 4y*_{n-1} + y_n]\)

Galat hampiran Simpson adalah

\(E_S = \int_a^b f(x) dx - S_n,\)

dengan \(S_n\) adalah hasil hampiran Simpson.

B) Contoh Soal

---

1. Tentukan nilai integran menggunakan hampiran integral dengan aturan trapezoidal \( n = 6\) pada integral

\(\int_1^4 x^2 dx\)

(Catatan : Tuliskan setiap desimal ke dalam bentuk tiga angka di belakang koma, tanpa dibulatkan)
Pembahasan: Diketahui \(a = 1\), \(b = 4\), dan \(n = 6\), sehingga

h = \(\frac{b-a}{n} = \frac{4-1}{6} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{b-a}{2n} = \frac{4-1}{2 \cdot 6} = \frac{1}{4}\)

i	Titik Ujung x_i	x^2	Pengali w_i	w_i y_y
0	1	1	1	1
1	1.5	2.25	2	4.5
2	2	4	2	8
3	2.5	6.25	2	12.5
4	3	9	2	18
5	3.5	12.25	2	24.5
6	4	16	1	16
Total		50		84.5

\(\int_1^4 x^2 dx \approx \frac{1}{4} \cdot 84.5 = 21.125\)

Jadi nilai integralnya adalah 21.125

---

2. Gunakan n = 10 untuk menghampiri nilai integral \(\int_0^3 \sqrt{x+1}dx\) dengan aturan Simpson. Dapatkan nilai eksak integral dan hampiri besar galatnya.
Pembahasan: Diketahui bahwa \(a = 0\), \(b = 3\), dan \(n = 10, f(x) = \sqrt{x+1}\) dan \(h=\frac{b-a}{n} = \frac{3-0}{10} = \frac{3}{10}\), sehingga

i	x_i	f(x_i)	w_i	w_i f(x_i)
0	0	1	1	1
1	0.3	1.144	2	2.289
2	0.6	1.225	4	4.9
3	0.9	1.346	2	2.692
4	1.2	1.414	4	5.656
5	1.5	1.581	2	3.162
6	1.8	1.802	4	7.208
7	2.1	1.732	2	3.464
8	2.4	1.549	4	6.196
9	2.7	1.414	2	2.828
10	3	1.732	1	1.732
Total		16.5		42.456

\(\int_0^3 \sqrt{x+1}dx \approx \frac{3}{30} \cdot 42.456 = 4.2456\)

Nilai eksak integralnya adalah \(\int_0^3 \sqrt{x+1}dx = \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}|_0^3 = \frac{2}{3}(4\sqrt{4}-1) = \frac{2}{3}(8-1) = \frac{14}{3} = 4.6667\)

Jadi besar galatnya adalah

Galat = \(|4.6667 - 4.2456| = 0.4211\)

---